خلاصه پایان نامه تحلیل ارتعاشات پوسته استوانه ای از جنس FGM تحت میدان حرارتی یا تحت بار محوری
پایان‌نامه برای دریافت درجه کارشناسی ارشد M.Sc
گرایش مهندسی مکانیک- طراحی کاربردی
چکیده
با پیدایش مواد کامپوزیتی پیشرفت عظیمی در بسیاری از کاربردهای مهندسی حاصل شد. با این وجود، مشکلاتی نظیر لایه لایه شدن، تمرکز تنش و توزیع نا‌پیوسته تنش، فکر ساختن نوع جدیدی از مواد مرکب که خواص در آنها به صورت پیوسته تغییر کند و بر مشکلات نام برده بالا فائق آید، پژوهشگران را به سمت ساخت و تولید مواد با خواص درجه‌بندی شده هدایت نمود. ویژگی‌ها و مزایای این مواد به گونه‌ای است که تحقیقات و تقاضای استفاده از این مواد در سال‌های اخیر در صنایع مختلف از جمله صنایع هوا و فضا به شدت افزایش یافته است.
آثار مخربی که پدیده تشدید می‌تواند به دنبال داشته باشد، اهمیت بررسی و تحلیل ارتعاشات آزاد را به ویژه در هندسه‌ها (مثلا استوانه‌ای و ...) و مواد پرکاربرد (مثلا فولاد ها) به خوبی نشان می‌دهد و همچنین با توجه به ارتباط اندک صنعت و دانشگاه در ایران، پیشرفت علوم کمتر به صنعت‌های قدیمی و در حال کار، راه پیدا می‌کند لذا بررسی پوسته استوانه‌ای (شبیه به کوره‌های موجود در مجتمع مس سرچشمه) با مواد FGM حائز اهمیت است.
هدف اصلی در این پایان‌نامه بررسی سه‌بعدی ارتعاشات آزاد پوسته‌های استوانه‌ای با خواص درجه‌بندی می‌باشد. در این پایان نامه ابتدا روابط سینماتیک و روابط ساختاری یک پوسته استوانه‌ای برای حالت‌های خطی و غیر‌خطی تعریف می‌شود سپس با استفاده از این روابط معادلات حرکت به‌دست آورده شده و در ادامه با استفاده از نرم‌افزارعددی آباکوس یک پوسته استوانه‌ای از جنس مواد FGM که از نظر هندسه با در نظر گرفتن برخی فرض‌ها شبیه به کوره‌های مبدل[1] در مجتمع مس سرچشمه می‌شود مدل می‌گردد. پس از مش‌بندی مدل و اعمال بار های حرارتی، بارهای مکانیکی و اعمال تکیه‌گاه، حل عددی حاصل می شود.
تغییرات فرکانس برای دماها، جرم‌ها و تکیه‌گاه‌های مختلف مورد بررسی قرار گرفته شد. نتایج نشان می‌دهدکه با افزایش جرم و دما، فرکانس کاهش می‌یابد، با افزایش و تغییر در تکیه گاه فرکانس افزایش می‌یابد و در نهایت با توجه به نتایج حاصل شده برای تنش و فرکانس، پیشنهاد می‌گردد به جای استفاده از ساختار قدیمی کوره، از ماده FGM در بدنه کوره استفاده شود.
کلمات کلیدی: ارتعاشات آزاد - پوسته استوانه ای - مواد با خواص درجه‌بندی شده
1-1مقدمه
نقش غیرقابل چشم‌پوشی و اثرات گوناگون پدیده‌ی ارتعاشات بر سیستم‌ها و سازه‌های مهندسی به ویژه اثرات نامطلوبی همچون شکست، کاهش راحتی و آسایش و ایجاد اختلال در عملکرد وسایل ابزار دقیق، بیانگر لزوم و اهمیت بررسی، تحلیل و کنترل ارتعاشات می‌باشد. در زمینه‌ی ارتعاشات مکانیکی با توجه به پیامدهای جبران‌ناپذیر و مخربی که پدیده‌ی تشدید می‌تواند به دنبال داشته باشد، بررسی و کنترل دقیق ارتعاشات بدون شناسایی فرکانس‌های طبیعی و تحلیل ارتعاشات آزاد میسر نمی‌باشد.
در میان هندسه‌های مورد استفاده در صنعت، پوسته‌ها، به علت وزن کم ناشی از کوچک بودن ضخامت، یکی از پرکاربردترین سازه‌ها در صنایع مختلف از جمله صنعت خودرو، هوا و فضا، صنایع دریایی و زیردریایی هستند. بدنه، دیفیوزر و دماغه‌ی فضاپیما، هواپیما و موشک، بدنه‌ی زیردریایی، مخازن، لوله‌های انتقال و رآکتور از بارزترین مثال‌ها در این زمینه می‌باشند.
همواره یکی از مشکلات اساسی در دستیابی به تولیدات پیشرفته‌تر، محدودیت در دستیابی به مواد و نیز محدودیت در خواص مواد موجود بوده است. به طوری که پیشرفت در زمینه‌های گوناگون علم و فن‌آوری بدون پیشرفت در علم مواد و دستیابی به موادی با ویژگی‌ها و کارایی‌هایی برتر، محدود می‌گردد. از این‌رو بشر همواره در پی کشف موادی با قابلیت‌های متفاوت و جدید و یا تولید مواد مصنوعی برای ارتقا خواص مواد موجود بوده است.
در سال‌های اخیر با گسترش موتورهای الکتریکی پرقدرت، توربین‌ها، رآکتورها و وسایل نقلیه پرسرعت، مواد مقاوم در برابر شرایط محیطی سخت از جمله دمای بسیار بالا و نیز شیب دمایی بالا، بسیار مورد توجه قرار گرفتند. نیاز به ماده‌ای با مقاومت حرارتی و مکانیکی بالا، معرفی مواد با خواص درجه‌بندی شده[1] را در سال1984 در ژاپن، به عنوان ماده‌ای مقاوم و پرکاربرد، موجب شد. انتخاب مواد با خواص درجه‌بندی شده در سال 1992 به عنوان یکی از 10 فن‌آوری پیشرفته در ژاپن، اهمیت و جایگاه این فن‌آوری را یادآور می‌شود.
اهمیت تحلیل ارتعاشات آزاد، گستردگی کاربرد پوسته‌های استوانه‌ای، قابلیت‌های مواد با خواص درجه‌بندی‌شده می‌تواند اهمیت بررسی و انجام این پروژه را تا حدود زیادی روشن کند.
1-2تاریخچه کارهای انجام شده
ارتعاشات در پوسته‌های استوانه‌ای، نخست توسط سوفی جرماین[2] در سال 1821 مطالعه شد و پس از آن در اواخر قرن نوزدهم توسط ریلی[3]]1[ و لاو[4]]2[ ادامه یافت. لاو برای اولین بار نظریه پوسته‌ی خطی را بر اساس فرضیه کیرشهف صفحات ارائه کرد. معادلات لاو را می‌توان به عنوان کلی‌ترین معادلات، در یکپارچه‌سازی تئوری ساختارهای پوسته‌ای که ضخامت در مقایسه با دیگر ابعاد کوچک است، در نظر گرفت.
ارتعاشات پوسته‌ها با در نظر گرفتن اینرسی دورانی و تغییر شکل برشی در سال 1982 توسط سودل[5] ارائه شد. ارتعاشات پوسته‌های استوانه‌ای ساخته شده از یک ماده با خواص درجه‌بندی شده متشکل از فولاد ضد زنگ و نیکل توسط لوی و همکاران ]3[ و با استفاده از روش ریلی ریتز مورد بررسی قرار گرفت. هدف این کار مطالعه‌ی فرکانس‌های طبیعی، تأثیر کسرهای حجمی ترکیبات و اثرات پیکره‌بندی‌های مواد سازنده بر روی این فرکانس‌ها می‌باشد. این تحلیل با استفاده از روابط کرنش-جابهجایی از تئوری پوسته لاو انجام شده و مقادیر ویژه‌ی معادلات حاکم با استفاده از روش ریلی ریتز به‌دست آمده است. این مطالعه برای دو نوع از پوسته‌های استوانه‌ای با خواص درجه بندی شده انجام شده است که پیکره‌بندی‌های مواد سازنده در این پوسته‌های استوانه‌ای با خواص درجه‌بندی شده، متفاوت است. ویژگی‌های نوع اول این پوسته‌ها به طور پیوسته از نیکل در سطح داخلی به فولاد ضد زنگ در سطح بیرونی تغییر می‌کند. در نوع دوم این پوسته‌ها، ویژگی‌ها به طور پیوسته از فولاد ضد زنگ در سطح درونی به نیکل در سطح بیرونی تغییر می‌کند.
این مطالعه نشان می‌دهد که مشخصه‌های فرکانسی پوسته‌های استوانه‌ای با خواص درجه‌بندی شده مشابه پوسته‌های استوانه‌ای همگن ایزوتروپیک است. به خاطر درجه‌بندی مواد، پوسته‌های با خواص درجه‌بندی شده هنگامی‌که کسرهای حجمی ترکیبات تغییر می‌کند، مشخصه‌های فرکانسی جالبی از خود نشان می‌دهند. این‌کار با تغییر توان نسبت حجمی انجام شد. اثر کسرهای حجمی ترکیبات بر فرکانس‌های پوسته‌های نوع اول و دوم متفاوت بود. برای پوسته‌های با خواص درجه‌بندی شده نوع اول، هنگامی‌که توان نسبت حجمی افزایش می‌یابد، فرکانس‌های طبیعی کاهش می‌یابند و برای نوع دوم از این پوسته‌ها، هنگامی‌که این توان کاهش می‌یابد، فرکانس‌های طبیعی آن نیز کاهش می‌یابد. کسرهای حجمی ترکیبات و پیکره‌بندی مواد سازنده بر فرکانس‌های طبیعی اثر می‌گذارد.
ملک‌زاده و حیدرپور ]4[ تحلیل ارتعاشات آزاد پوسته‌های استوانه‌ای دوار که در معرض محیط حرارتی قرار دارند را بر اساس تئوری مرتبه اول برشی پوسته‌ها را انجام دادند. این فرمول‌بندی شامل نیروهای گریز از مرکز و کریولیس ناشی از دوران پوسته می‌باشد. در این تحقیق فرض شده که ویژگی‌های ماده‌ای به دما وابسته بوده و در راستای ضخامت درجه‌بندی شده است. معادلات حرکت با استفاده از اصل همیلتون به آمده است. روش موثر و دقیق انتگرال دیفرانسیلی برای گسسته‌سازی معادلات تعادل ترموالاستیک و معادلات حرکت به کار رفته است.
پرادهان و همکاران] 5[ ارتعاشات پوسته‌ی استوانه‌ای با خواص درجه‌بندی شده متشکل از فولاد ضد زنگ و زیرکونیا را با استفاده از روش ریلی بررسی کردند. آنها روابط جابهجایی کرنش مربوط به تئوری پوسته‌ی لاو را به‌کاربرده برده و برای استنتاج معادلات حاکم بر مسئله، از روش ریلی استفاده کردند.
شنگ و ونگ ]6[ در سال 2009 بر اساس تئوری مرتبه‌ی اول برشی، اصل همیلتون و معادله‌ی ماکسول، معادلات درهم‌گیرش برای تعیین پتانسیل الکتریکی و جابه‌جایی‌های الکتریکی پوسته‌ی استوانه‌ای با خواص درجه‌بندی شده با سطح محدود به لایه‌ی پیزوالکتریک و تحت بارهای متحرک را ارائه کردند. معادلات فرکانسی با استفاده از توابع جابهجایی و یک تابع پتانسیل الکتریکی به‌دست آمدند. روش آنالیز مودال و روش انتگرال نیومارک برای محاسبه‌ی جابه‌جایی‌ها و پتانسیل الکتریکی حسگری این پوسته که در معرض بارهای متحرک قرار دارد به کار رفته است. از نتایج این تحقیق می‌توان به موارد زیر اشاره نمود:
فرکانس اساسی پوسته‌ی استوانه‌ای با خواص درجه‌بندی شده با سطح محدود به لایه‌ی پیزوالکتریک با افزایش بارهای محوری فشاری، کاهش می‌یابد. اثر پیزوالکتریک لایه پیزوالکتریک می‌تواند فرکانس اساسی ساختار با خواص درجه‌بندی شده را افزایش دهد.
اثر توان نسبت حجمی لایه‌ی با خواص درجه‌بندی شده بر پاسخ‌های دینامیکی، تنها هنگامی‌که این توان کمتر از 5 باشد محسوس و مشهود است.
دامنه‌ی پاسخ‌های دینامیکی پوسته به طور قابل ملاحظه‌ای تحت تأثیر تغییرات دماست. هنگامی‌که بارهای حرارتی افزایش می‌یابند، دامنه‌ی ارتعاشات نیز بیشتر می‌شود
شی رونگ لی و همکاران ]7[ نیز در سال 2010 ارتعاشات آزاد پوسته‌ی استوانه‌ای دایروی سه لایه با لایه‌های داخلی و خارجی ساخته شده از ماده همگن مشابه و لایه میانی متشکل از ماده با خواص درجه‌بندی شده را با تکیه‌گاه ساده مورد مطالعه قرار دادند. آنها برای به دست آوردن معادلات حاکم از تئوری پوسته فلاگه استفاده نموده و جابه‌جایی‌های درون صفحه‌ای را بر حسب توابع مثلثاتی که عینا شرایط مرزی را ارضا می‌کنند بیان کردند و فرکانس‌های طبیعی را بر حسب پارامترهای ماده‌ای و هندسی محاسبه نمودند. نتایج نشان داد که فرکانس‌های طبیعی اساسی با افزایش نسبت شعاع به ضخامت کاهش و با افزایش در نسبت مدول یانگ در سطح میانی به این نسبت در لایه داخلی یا خارجی افزایش می‌یابد.
ملک‌زاده و همکاران ]8[ در سال 2012 ارتعاشات آزاد سه بعدی پوسته‌های با خواص درجه‌بندی شده مخروطی ناقص در معرض یک محیط حرارتی را بر ا ساس تئوری سه بعدی الاستیسیته بررسی نمودند. سطح درونی پوسته سرامیک بوده که به صورت دما ثابت فرض شده و سطح بیرونی آن را فلز تشکیل می‌دهد و در معرض انتقال حرارت جابهجایی ثابت قرار دارد. در این تحقیق از مدل ریاضی ردی برای بیان تغییرات ویژگی‌ها استفاده شده است.
Abstract
In this research, based on the three-dimensional theory of elasticity, free vibration analysis of the functionally graded (FG) cylindrical shells, is performed. The shell is subjected to thermal environment and trust load. FGMs are designed so that their thermo-mechanical properties have smoothly and continuously spatial variation due to a continuous change in composition, in morphology, in microstructure, or in crystal structure. FGMs can take the advantage of the desirable properties as thermal and corrosion resistance of ceramics and high tensile strength, toughness and bonding capability of metals. The material properties of the FG layer are assumed to be temperature dependent and graded in the radius direction, which can vary according to a simple power low distribution. It is assumed that heat transfer is only in the radial direction.
The main purpose in this dissertation is evaluation of dimensional free vibration of FGM cylindrical shell.
In this dissertation, first, cylindrical shell structural and cinematic relation for linear and nonlinear condition is defined. Then using above relation, motion equation is obtained and then using abaquse software, FGM cylindrical shell that is simile sarcheshmeh copper converter furnace is modeled and then doing thermal loading and mechanical loading and support, the model is meshed and finally calculation is done with abaqus software.
In this project frequency variation in temperature and mass and support different condition is surveyed that frequency is reduced with increase of mass and temperature and frequency is increased with increasing support and change of support type and finally with achieved result for stress and frequency is suggested using of FGM for furnace body instead of old condition.
Keywords:
Free vibration, Shell, FGM
فهرست پایان نامه تحلیل ارتعاشات پوسته استوانه ای از جنس FGM تحت میدان حرارتی یا تحت بار محوری
فهرست:
فصل اول: مقدمه……………………………………………………………………………………….…. 1
1-1 مقدمه. 2
1-2 تاریخچه کارهای انجام شده 3
1-3 ارتباط موضوع تحقیق با کارهای قبلی. 6
1-4 محتوای فصل‌های بعد. 6
فصل دوم: مواد با خواص درجه‌بندی شده 8
2-1 معرفی مواد با خواص درجه‌بندی‌شده 9
2-2 کاربردهای مواد با خواص درجه‌بندی شده 11
2-3 روش‌های ساخت مواد با خواص درجه‌بندی شده 12
2-4 مدل‌های ریاضی و روابط حاکم.. 14
2-4-1 مدل ردی. 14
2-4-2 مدل اردوگان. 15
2-4-3 مدل تانیگاوا 16
2-4-4 مدل نُدا 16
فصل سوم: فرمول‌بندی و استخراج روابط در ارتعاشات پوسته استوانه‌ای FGM.. 8
3-1 مقدمه. 19
3-2 معادلات لازم برای حل کلی (خطی و غیر‌خطی) 20
3-2-1 رابطه تنش و کرنش... 20
3-3 معادلات حاکم با فرض خطی بودن جابه‌جایی‌ها 21
3-3-1 مؤلفه‌های کرنش-جابهجایی. 21
3-3-2 مؤلفه‌های تنش... 23
3-4 معادلات حرکت با فرض خطی بودن جابه‌جایی‌ها 24
3-4-1 معادلات حرکت برای سازه دو انحنایی (حالت کلی) 24
3-4-2 معادلات حرکت برای سازه استوانه‌ای (استخراج شده از حالت کلی) 25
3-4-3 به‌دست آوردن معادلات حرکت برای پوسته استوانه‌ای FGM (بر حسب جابه‌جایی‌ها) 26
3-4-4 به‌دست آوردن معادلات حرکت برای پوسته استوانه‌ای FGM (بر حسب منتجه‌های تنش و گشتاور) 28
3-5 معادلات حاکم با فرض غیر‌خطی بودن جابه‌جایی‌ها 29
3-5-1 مؤلفه‌های کرنش بر حسب جابه‌جایی‌های کلی. 29
3-5-2 مؤلفه‌های تنش بر حسب جابه‌جایی‌های صفحه میانی. 32
3-6 معادلات حرکت با فرض غیر‌خطی بودن جابه‌جایی‌ها 33
3-6-1 به‌دست آوردن معادلات حرکت برای پوسته استوانه‌ای FGM (بر حسب جابه‌جایی‌ها) 33
3-6-2 به‌دست آوردن معادلات حرکت برای پوسته استوانه‌ای FGM در حالت غیر‌خطی (بر حسب منتجه‌های تنش و گشتاور)...................................................................................................................................................................................36
3-6-3 مقایسه معادلات حرکت غیر‌خطی با حالت خطی. 37
فصل چهارم: تحلیل مسئله به کمک نرم‌افزار آباکوس.. 18
4-1 نرم‌افزار ABAQUS چیست و چه کاربردی دارد؟ 39
4-2 کلیات.. 41
4-3 بررسی صحت نتایج.. 44
4-4 بررسی همگرایی. 45
4-5 تنش، جابهجایی و فرکانس با تغییر در قیود 46
4-5-1 دو تکیه‌گاه ساده در دو طرف کوره 46
4-5-2 سه تکیه‌گاه ساده در دو طرف کوره و وسط کوره 49
4-5-3 دو تکیه‌گاه رینگی در دو طرف.. 52
4-5-4 جداول فرکانس‌ها و ماکزیمم تنش و ماکزیمم جابهجایی با توجه به تغییر تکیه‌گاه 55
4-5-5 نمودار‌های فرکانس و تنش و جابهجایی با توجه به تغییر تکیه‌گاه 56
4-6 تنش، جابهجایی و فرکانس با تغییر جرم ماده مذاب داخل کوره 58
4-6-1 وزن ماده مذاب داخل کوره 240 تن می‌باشد. 58
4-6-2 جرم ماده مذاب داخل کوره 260 تن می‌باشد. 59
4-6-3 جرم ماده مذاب داخل کوره 280 تن می‌باشد. 61
4-6-4 جرم مذاب داخل کوره 300 تن می‌باشد. 62
4-6-5 جداول فرکانس‌ها و تنش‌های ماکزیمم و جابه‌جایی‌های ماکزیمم با توجه به تغییر جرم. 63
4-6-6 نمودار‌های فرکانس و تنش و جابهجایی با توجه به تغییر جرم. 64
4-7 بررسی تنش، جابهجایی و فرکانس با تغییرات دما 66
4-7-1 دمای داخل کوره 1200 درجه سانتیگراد 66
4-7-2 دمای داخل کوره 1400 درجه سانتیگراد 67
4-7-3 دمای داخل کوره 1600 درجه سانتیگراد 68
4-7-4 جداول فرکانس‌ها و تنش‌های ماکزیمم و جابه‌جایی‌های ماکزیمم با توجه به تغییر دما 69
4-7-5 نمودار‌های فرکانس و تنش و جابهجایی با توجه به تغییر دما 70
فصل پنجم: نتیجه‌گیری و پیشنهادات.. 39
5-1 نتیجه‌گیری. 74
5-2 پیشنهادات.. 74
مراجع.. 110
منبع:
[1] Rayleigh, J. W. S., Theory of sound, Macmillan, London. 1(1), 1882
[2] Love, A. E. H., “On the small free vibrations and deformations of thin elastic shells”, Phil.Trans Royal Society of London, 1888, 179(A): 125-137.
[3] CY Loy, KY Lam, JN Reddy. “Vibration of functionally graded cylindrical shells”, Int. J. of Mechanical Sciences 1999; 4: 309-324.
[4] P. Malekzadeh, Y.Heydarpour “Free vibration analysis of rotating functionally graded cylindrical shells in thermal environment”, Composite structures, 94 (2012) 2971-2981.
[5] SC Pradhan, CT Loy, KY Lam and JN Reddy, “Vibration characteristics of functionally graded cylindrical shells under various boundary conditions”. Applied Acoustics 2000; 61:111-129.
[6] GG Sheng, X Wang. “Studies on dynamic behavior of functionally graded cylindrical shells with PZT layers under moving loads”. J. of Sound and Vibration 2009; 323:772–789
[7] Shi-Rong Li, Xiao-Hua Fu, R.C. Batra, “Free vibration of three-layer circular cylindrical shells with functionally graded middle layer”. Mechanics Research Communications 37 (2010) 577–580
[8] P. Malekzadeh, A.R. Fiouz, M. Sobhrouyan “Three-dimensional free vibration of functionally graded truncated conical shells subjected to thermal environment”, International Journal of Pressure Vessels and Piping 89 (2012) 210e221.
[9] A., Alibeigloo, A.M. Kani, M.H. Pashaei, “Elasticity solution for the free vibration analysis of functionally graded cylindrical shell bonded to thin piezoelectric layers”, International Journal of Pressure Vessels and Piping 89 (2012) 98e111.
]10[. اکبرزاده شفارودی، ع، تحلیل ترموالاستیسیته کوپل ورق مستطیلی FGM، دانشکده مهندسی مکانیک، دانشگاه صنعتی امیرکبیر، 1388.
]11[. کریم‌زاده بابکی، ا، کمانش ورق سوپر بیضوی ساخته شده از مواد مدرج هدفمند(FGM) تحت فشار یکنواخت صفحه‌ای، دانشکده مهندسی مکانیک، دانشگاه صنعتی اصفهان،1390.
[12] Praveen G. N., Reddy J. N., “Nonlinear Transient Thermoelastic Analysis of Functionally Graded Ceramic-Metal Plates”, Int. J. Solids Structures, Vol. 35, No. 33, pp. 4457-4476, 1998.
[13]. Tanigawa Y., “Thermoelastic field with nonhomogeneous Material Properties”, J. Thermal Stress, Vol. 22, pp. 689-711, 1999.
[14].Babaei M. H., Abbasi M. and Eslami M. R., “Coupled Thermoelasticity of Functionally Graded Beams”, Journal of Thermal Stresses, Vol. 31, pp. 1-18, 2008.
[15]. Sheng G.G, Wang X. “Active control of functionally granded laminated cylindrical snell”, composite structures 90, 2009,448-457.
]16[. ملک‌زاده فرد ک. پاسخ دیتامیکی پوسته‌های مرکب انحنادار ضربه عرضی با سرعت پایین با اجرام ضربه زننده. دانشکده مهندسی مکانیک،دانشگاه صنعتی مالک اشتر،1392
[17] Irie,T.and Yamada,G.and Tanaka,K.”Natural frequencies of truncated conical shells”,sound Vib, Vol.92,PP. 447-453,1984
]18[.رحمانیان،س،ملکی،م،نرم‌افزار آباکوس،انتشارات سیمای دانش،1386
]19[.رسول،ت،قرائی،ا،شاه نطری،ح،نجات بخش،ح،راهنمای جامع مدل سازی و تحلیل در نرم‌افزار آباکوس،انتشارات عابد،1390
]20[.درویشی،م،طراز جمشیدی،ی،صلحی،م،رزمجویی،ر،تحلیل مکانیکی به کمک نرم‌افزار آباکوس،انتشارات آفرنگ،1391
]21[.فرزین،م،دیباجیان،ح،مهدیان،ا،حسینی،م،آشنایی و طرز کار با نرم‌افزار آباکوس،انتشارات جهاد دانشگاهی،1391